MESURER DES
GRANDEURS
L’action de compter, de dénombrer, qui a sûrement été à l’origine des nombres (entiers « naturels »), remonte sans doute à l’époque où les hommes ont inventé l’élevage : en effet, si le chasseur ou le cueilleur n’avait nul besoin de dénombrer le produit de ses activités, l’éleveur, très tôt sans doute, voulait pouvoir contrôler périodiquement la taille de son troupeau. Il y quelques décennies, on trouvait encore des bergers qui, sur leur bâton, faisaient une encoche par mouton, par exemple, ce qui était une façon de connaître la taille de leur troupeau et ses variations (plus de bêtes ou moins de bêtes que d’encoches indiquait ces variations). Les échanges nécessitaient aussi l’usage de nombres : par exemple, échanger une vache contre trois brebis ...
Avec l’agriculture, apparaît le besoin de mesurer : les champs, les quantités de récoltes, les poids de denrées ... Avec l’agriculture, les sociétés s’organisent, se hiérarchisent en classes voire en castes (prêtres, guerriers, paysans-producteurs, esclaves ... ). Cette organisation entraîne la tenue de comptes (travail des scribes dans l’ancienne Egypte, par exemple) qui nécessite l’usage de mesures et donc d’unités de mesures communes à une collectivité. Les unités de mesures sont des objets permettant de mesurer effectivement des quantités, des grandeurs. Par exemple, des récipients d’une capacité donnée pour mesurer les liquides, les poudres, les grains ; des baguettes ou des cordes de longueurs données pour mesurer des longueurs, des distances ; des objets plus ou moins pesants pour mesurer des poids (masses).
Mesurer le temps pose un autre problème : on ne peut directement utiliser une unité « objet-durée ». Le temps (la durée) est donc mesuré par comparaison à une action-type dont la durée est prise comme unité : par exemple, le temps qu’il faut à un récipient donné pour se vider de son eau ; c’était le cas de la clepsydre dans l’Antiquité. Le sablier, de nos jours, est un instrument de ce type qui sert à mesurer une durée : les sabliers utilisés pour la cuisson des oeufs à la coque mesurent une durée de 3 minutes, temps qu’il faut au sable de l’ampoule supérieure pour passer dans l’ampoule inférieure. Très tôt, les « astronomes » ont utilisé la course du soleil et de la lune dans le ciel (déplacement apparent du soleil au cours de la journée, phases de la lune au cours d’une « lunaison ») pour poser des repères temporels, « graduer la journée, l’année, » en quelque sorte : le cadran solaire permet de découper la journée en durées égales (heures), tandis que les phases de la lune sont à l’origine du découpage de « l’année » (calendrier lunaire encore employé par les Arabes, les Chinois, etc.).
Mesurer, c’est donc comparer une grandeur réelle à une grandeur-type de même nature, c’est compter le nombre d’unités de mesures « contenues » dans la grandeur à mesurer. Si dénombrer (par exemple, compter le nombre de moutons d’un troupeau) ne nécessite pas d’autre instrument que la connaissance des nombres (entiers « naturels »), mesurer implique l’usage d’instruments de mesures : mesurer est donc avant tout une action qui utilise des outils.
Avant la Révolution, il existait de nombreuses unités de mesures : par exemple, pour mesurer des longueurs, on se servait couramment du pied et du pouce. Comme leur nom l’indique, ces mesures étaient directement issues de l’usage du corps humain pour mesurer des longueurs, des distances : ne se sert-on pas de son pas pour mesurer des distances au sol (largeur d’une route, dimensions d’une pièce d’habitation, etc.) lorsqu’on ne dispose pas d’un mètre ? De la même façon, il est probable que nos ancêtres se servaient effectivement de leur pied (comme les joueurs de pétanque !) pour mesurer des longueurs, et de leur pouce pour des distances plus courtes. Le pied équivalait à 12 pouces ou plus exactement à 11,99852235... pouces, puisque le pied équivaut à 32,48 cm et le pouce à 2,707 cm. On utilisait aussi la toise, qui mesurait 1,949 m soit environ 6 pieds (ou plutôt 6,00061564 ... pieds) Il existait aussi la ligne (encore en usage au Canada) qui valait un huitième de pouce. Enfin, pour les distances entre villages, par exemple, on se servait de la lieue dont une valeur était équivalente à 2 000 toises ou 3,898 km. Pour mesurer les longueurs courantes, on se servait donc des unités de mesures suivantes:
la ligne
le pouce qui valait 8 lignes
le pied qui valait 12 pouces
la toise qui valait 6 pieds
la lieue qui valait 2 000 pieds
Le passage d’une unité à l’autre nécessitait de savants calculs ! L’écriture décimale d’une mesure était impossible : ainsi, la taille d’un homme était par exemple de 6 pieds et 5 pouces (à peu près).
Il faut ajouter que la taille de ces unités pouvait varier d’un endroit à l’autre : ainsi, la longueur de l’aune (qui servait surtout à mesurer des tissus,) était comprise entre 0,671 m et 1,118 m selon les régions de France (une taille qui pouvait presque varier du simple au double!). D’un village à l’autre, la taille de l’aune pouvait être différente, d’où de nombreux conflits entre marchands de tissus de passage et clients ! La longueur de la mesure locale était souvent indiquée par des pièces de fer scellées dans un mur de l’église (proche du marché). Les marchands devaient montrer que l’instrument dont ils se servaient pour mesurer les tissus correspondait bien à l’unité en vigueur dans la ville ou le village où se tenait le marché.
La même fantaisie régnait parmi
les autres unités de mesures : ainsi, pour mesurer des liquides (boissons), on
se servait souvent de la pinte qui
équivalait à 0,97 litre à Paris, mais dont la taille variait selon les
localités. Pour le grain, on se servait du boisseau
(25 à 35 litres
environ) dont la taille, là encore, était très variable.
Pour les poids (masses), on se servait par exemple de la livre qui valait 16 onces. L’once pesant environ 30,594 g à Paris, la livre équivalait donc à environ 489,504 g. (Toujours à Paris, car ces mesures variaient aussi selon les lieux).
La plupart de ces unités sont encore utilisées dans les pays anglo-saxons (Grande Bretagne et Etats Unis d’Amérique). Mais, comme en France dans le temps, leur taille varie : ainsi la pinte vaut 0,57 l en Grande Bretagne et 0,47 l aux U.S.A. ! De plus, le passage d’une unité à une autre nécessite des calculs plus ou moins complexes. Aussi, dès 1790, l’idée s’était imposée parmi les scientifiques de l’époque, d’un système de mesures normalisé et simplifié. Une commission de l’Académie des sciences comptant notamment le chimiste LAVOISIER (qui avait été admis à l’Académie des sciences à l’âge de 25 ans) fut chargée de définir ce nouveau système. Le mathématicien-physicien et astronome LAPLACE, dans un discours à l’Ecole Normale, déclarait le 30 avril 1795 : « ... l’adoption du système métrique, dont les divisions uniformes se prêtent le plus facilement au calcul et qui dérive, de la manière la moins arbitraire, d’une mesure fondamentale [le mètre], indiquée par la nature elle-même. Un peuple qui se donnerait un semblable système de mesure réunirait à l’avantage d’en recueillir les premiers fruits, celui de voir son exemple suivi par les autres peuples dont il deviendrait ainsi le bienfaiteur ... » Ce système avait été adopté par la Convention le 7 avril de la même année, tandis que l’un de ses pères, LAVOISIER, avait été guillotiné l’année précédente ...
Cette « mesure fondamentale indiquée par la nature elle-même » est le mètre. Dix millionième partie du quart de la circonférence terrestre, - ce qui, dans un élan rousseauiste fait dire à LAPLACE qu’il était en quelque sorte une mesure « naturelle », le mètre est bien l’étalon qui va donner son nom à tout le système « métrique ». C’est une longueur commode, ni trop encombrante, ni trop petite, qui se prête bien à un grand nombre de mesures courantes. Pourtant, pour mesurer de plus petites longueurs, ou pour mesurer avec plus de précision, il est commode de disposer d’unités plus petites, fractions du mètre : ce seront les sous-multiples du mètre. L’idée principale, c’est d’utiliser des « divisions uniformes », en base dix. Alors qu’il fallait 8 lignes pour faire un pouce, 12 pouces pour faire un pied et 6 pieds pour faire une toise, les subdivisions du mètre seront des dixièmes, centièmes, millièmes de mètre : le décimètre, le centimètre, le millimètre. Le système métrique est calqué sur le système de numération décimale, ce qui lui donne d’emblée une valeur universelle (dans la mesure où le système de numération décimale était déjà commun à la plupart des peuples il y a 2 siècles). De la même manière, les unités plus grandes que le mètre seront des multiples de 10 : le décamètre, l’hectomètre, le kilomètre. Le passage d’une unité à une autre ne nécessite aucun calcul : un simple déplacement de la virgule suffit.
Ces mesures de longueur vont servir de base à la création de mesures de surfaces (ou d’aires) qui, là encore, vont remplacer les anciennes mesures souvent locales, variables et arbitraires (en Bretagne, par exemple, la « journée » était la surface de terrain qu’un homme pouvait « travailler » en un jour de travail.). La base est le carré de un mètre de côté, surface d’un mètre carré (m²) avec ses multiples et sous-multiples fondés sur ceux du mètre « linéaire ».
De même, un système de mesure des volumes est créé sur la base du volume d’un cube de 1 mètre d’arête, le mètre cube (m3), avec ses multiples et sous-multiples.
Prolongeant cette démarche unificatrice, il fut décidé d’un ensemble de mesures de capacités (pour mesurer les quantités de liquides, de poudres, de grains ...) rattaché au système métrique: ce fut le litre, défini comme l’équivalent du décimètre cube. Le litre est doté de multiples et sous-multiples, toujours sur une base décimale.
Enfin, aux anciennes unités de mesures des masses, il faut substitué un ensemble de mesures reliées elles aussi au système métrique par le biais du poids d’une masse d’eau qui fut prise comme étalon : 1 litre (ou un dm3) d’eau pèse 1 kilogramme. 1 000 kg équivalent à 1 tonne, tandis que le millième du kg est le gramme. Le gramme servira de base aux mesures de masses, avec ses multiples et sous-multiples toujours définis sur la base décimale.
Pour la petite histoire, ajoutons
que les Révolutionnaires ont essayé de s’attaquer à la mesure du temps en
créant le calendrier républicain
avec ses « semaines » de 10 jours, (ou décades), l’année comptant 12
mois de 30 jours - ou trois décades (plus 5 à 6 jours pour faire le
compte !). Ce calendrier institué en 1792 fut utilisé jusqu’en 1806 mais ne fut
jamais adopté par d’autres pays. La révolution ne s’attaqua jamais à la mesure
des durées dans la journée (système complexe avec ses 24 heures, divisées en 60
minutes, elles-mêmes divisées en 60 secondes !) C’est que la mesure du temps de
la journée est liée à la rotation (apparente) du soleil et que la mesure
utilisée pour les angles - notamment par les marins - est le degré avec ses
minutes et secondes d’arc. Pour mesurer des angles, le système décimal fondé
sur le grade n’a jamais réussi à s’imposer.
Par contre, la mesure des températures utilise un système décimal : les degrés centigrades, fondés sur les températures de l’eau qui bout et de la glace qui fond. Les Anglo-saxons continuant à utiliser le système Farenheit !
La mesure, l’action de mesurer, est du domaine de la physique et non des mathématiques qui sont fondées sur la déduction à partir d’hypothèses préalablement admises. L’enseignement de la mesure doit donc se faire selon les méthodes de l’enseignement de la physique et non selon celles des mathématiques. Or un bon enseignement de la physique est fondé sur l’observation et sur l’expérimentation effective, et non sur des exposés systématiques et rigoureux (cours magistraux).
Les objectifs de l’enseignement du système métrique sont multiples :
- connaître les principaux instruments de mesures utilisés maintenant de façon quasi universelle ;
- savoir choisir, pour une mesure donnée, l’instrument le plus adapté ;
- savoir évaluer l’ordre de grandeur d’une mesure avant d’effectuer la mesure ;
- savoir exprimer une mesure de la manière la plus simple mais aussi la plus précise ;
- savoir choisir une unité commune pour exprimer des mesures exprimées à l’aide d’unités différentes ...
- savoir « convertir » ces mesures pour les exprimer à l’aide de l’unité commune choisie ;
- prendre conscience de la relative exactitude d’une mesure ;
- savoir estimer une erreur de mesure ;
- savoir apprécier l’ordre de grandeur de « l’erreur acceptable » pour un type de mesure donnée (par exemple, la distance entre deux villes ne sera pas donnée avec la même précision que la largeur d’une fenêtre) ;
Il est évident que chaque enfant ne peut atteindre pleinement ces objectifs qu’après avoir effectivement pratiqué de nombreuses mesures, les avoir confrontées à celles faites par ses camarades, en avoir discuté la validité, etc.
La mesure pose le problème de la notion d’étalon. On fait trop souvent comme s’il s’agissait d’un concept inné, comme si « cela allait de soi » que, pour effectuer une mesure, il fallait « reporter » une grandeur-type dans la grandeur à mesurer. La méconnaissance de ce problème fait que de nombreux enfants de 10/11 ans et même des élèves des Collèges confondent le trait des graduations de leur double-décimètre avec les centimètres ou les millimètres ! Beaucoup d’enfants ne font aucun lien entre le nom du double décimètre et le décimètre, sous-multiple du mètre. Trop souvent, l’usage des unités de mesures reste un exercice purement formel, dépourvu de toute signification pour les enfants et adolescents. Il faut donc les amener d’abord à construire la notion d’étalon conventionnel à partir des mesures les plus simples, celles de longueurs et distances.
Pour cela, avant d’utiliser les instruments du système métrique, les enfants doivent passer par les étapes antérieures à l’invention de ce système, effectuer des mesures à l’aide d’instruments divers dont des parties de leur corps (pied, mains (doigts écartés), pas, etc.). Ils doivent donner des « encadrements » des mesures effectuées (plus de n pas, mais moins de p pas...), comparer leurs mesures d’une grandeur donnée à celles effectuées par ses camarades, rechercher les causes des différences constatées, comparer les nombres exprimant des mesures effectuées à l’aide d’instruments différents, arriver petit à petit à la conscience de la nécessité d’instruments de mesures standardisés qui ne peuvent être que conventionnels ...
- dès trois ou quatre ans, les enfants de l’école maternelle peuvent comparer des longueurs, des profondeurs, des distances, des épaisseurs, des masses, etc. « ceci est plus grand, profond, loin, près, épais, lourd, léger... que cela » ; de même « ceci est moins etc. » ; et « ceci est aussi... que »...
- dès que les enfants ont acquis la notion de nombre entier, ils pourront commencer à effectuer des mesures de longueur à l’aide d’unités « naturelles » (pied, pas, main...) et donner des encadrements : « plus long que 3 pieds mais moins que 4 »... Ils se familiariseront très tôt avec la balance Roberval en faisant l’équilibre avec du sable, par exemple. De même, ils pourront transvaser des liquides dans des récipients de contenances identiques mais de différentes formes, dans des récipients de même forme mais de contenus différents ... Toutes ces expériences qui doivent être effectivement faites par chaque enfant (et non devant eux par une tierce personne), doivent aussi donner lieu à des échanges, des confrontations, des discussions.
Dès que les enfants ont un niveau de lecture suffisant, ils peuvent être guidés par des fiches de travail individuel. (Voir les exemples joints en annexe).
Ces expériences s’accompagnent de la fabrication de certains instruments de mesures : rubans gradués, mètres, décamètres (ficelle avec des noeuds ou des taches de couleurs), balances de divers types (notamment balances romaines), dont la précision variera selon l’âge des enfants...
Il ne sera pas inutile de prolonger cette expérimentation au Collège : elle débouchera tout naturellement sur les T.P. de physique, chimie et biologie, trop souvent absents dans l’enseignement secondaire et qu’il faut absolument restaurer.
Trop souvent l’enseignement du système métrique se réduit à des exposés magistraux présentant les divers types d’unités du système métrique, de leurs multiples et sous-multiples, exposés suivis d’exercices de « conversions » avec ou sans « tableau ». Dans les meilleurs des cas, des instruments sont présentés, rarement utilisés par les enfants. Il n’y a donc rien d’étonnant à ce que bien des enfants ne soient pas surpris de trouver qu’une voiture pèse 110 g ou 500 tonnes, voire 8,25 m ou 36 F !!!
Enseigner le système métrique c’est bien plus que faire apprendre par coeur les listes de multiples et sous-multiples de chaque unité de mesure et donner des « trucs » pour effectuer les conversions sans erreurs. Enseigner le système métrique doit contribuer à une véritable formation de l’esprit scientifique des enfants et des adolescents.